חשמל ומגנטיות תשע"ה תרגול 12 השראות השראות הדדית ועצמית בשבוע שעבר דיברנו על השראות בין לולאה לבין השינוי בשטף המגנטי שעובר דרכה על ידי שימוש בחוק פאראדיי ε = dφ m dt הפעם נסתכל על מקרה בו יש יותר מלולאה אחת. כמתואר באיור, נוכל לראות שרק בלולאה מספר 1 אנחנו מזרימים זרם, הזרם הזה יוצר שדה מגנטי (לפי חוק אמפר) השדה המגנטי הזה עובר גם כן דרך לולאה מספר 2. התופעה הזאת, נקרא השראות הדדית, והיא מתארת את הקשר בין הזרם על לולאה אחת לבין השטף המגנטי שעובר דרך הלולאה השניה. 1
Φ 1 = M 12 I 2 בהרצאה ראיתם שההשראות ההדדית היא גודל שמתואר על ידי הגאומטריה בלבד M 12 = M 21 = µ 0 d l1 d l 2 4π r 2 r 1 הגודל הזה לכשעצמו הוא לא מעניין כלכך, אבל אם ניקח את המשוואה המקשרת בין הזרם לשטף ונגזור אותה נוכל לקבל גודל שבהחלט מעניין אותנו. ε 1 = dφ 1 dt = M di 2 dt ואם נסתכל הפעם לא על אינטרקציה בין 2 לולאות שונות, אלא בין לולאה 1 לעצמה נקבל ε 1 = M 11 di 1 dt לגודל M 11 קוראים ההשראות העצמית והוא לרוב מסומן באות L, וברוב המקומות קוראים לזה בקיצור השראות. היחידות של השראות הן henry על שם הפיסיקאי Joseph Henry שגילה את התופעה (כמעט בו זמנית עם פאראדיי) [H] = [ ] volt sec = [Ω sec] Ampere נשים לב לתצורה של המשוואה של ההשראות וננסה להבין את המשמעות הפיסיקלית שלה. ε = L di dt אנו יודעים מחוק לנץ, כי כאשר אנו מגדילים את הזרם הכא"מ ישאף להקטין אותו והמידה בה הכא"מ יתנגד לשינוי בזרם היא ההשראות. נשים לב, כי הדבר דומה מאוד למושג המסה במכניקה, כאשר אנו מנסים להזיז גוף ממקומו. עד כמה יהיה לנו קשה או קל להזיז אותו תלוי במסה. (כמות האנרגיה שנצטרך להשקיע כדי להביא למהירות v). 2
תרגיל 1 נתונים שני תיילים ברדיוס aכל אחד, ארוכים ומקבילים זה לזה, התיילים מחוברים זה לזה באינסוף (בכדי לסגור לולאה) אך אנו מתרכזים בחלק המצויר בציור, באורך h. המרחק בין התיילים הוא d, והזרם הזורם בהם הוא I המפולג בצורה אחידה בתייל. מצא את ההשראות ליחידת אורך של שני התיילים. פתרון א. נזכור שההשראות העצמי היא היחס בין הזרם שעובר בתייל לבין השטף המגנטי שהוא יוצר. בעבר חישבנו על ידי שימוש במשוואת אמפר את השדה החשמלי של תייל, נשתמש בתוצאה הזאת בכדי לרשום ביטוי לשדה המגנטי של כל אחד מהתיילים B 1 (r) = µ 0I 2πr ẑ B 2 (r) = µ 0 I 2π (d r)ẑ נרשום את סך השטף המגנטי בעבור אזור באורך h וברוחב d, כאן נשים לב שישנו שדה רק מחוץ לתייל כי זרם זורם דרך המעטפת של התייל ולא דרך הנפח שלו בגלל שהוא מוליך. כך שנרשום את הביטוי לשטף המגנטי הכולל כך: Φ m = ˆ d a a [B 1 (r) + B 2 (r)] hdr = µ 0hI 2π ˆd a a [ 1 r + 1 d r ] dr = µ ( ) 0Ih d a π ln a 3
בגלל שברוב המערכות, עובי התייל דק בהרבה מהמרחק בין התיילים d a נוכל לעשות קירוב ולקבל שההשראות ליחידת אורך היא: L = µ ( ) 0 d π ln a ההשראות שחישבנו כאן נקראית השראות עצמית חיצונית, בגלל שהיא כתוצאה מהשטף מחוץ לתיילים. את ההשראות העצמית הפנימית נמצא בהמשך התרגול. תרגיל 2 נתון כבל קואקסיאלי כמצויר באיור. מצא את ההשראות העצמית החיצונית של הכבל ליחידת אורך. פתרון החלק הכי מסובך בתרגיל הזה הוא להבין לאיזה שטף מגנטי אנו צריכים להתייחס כאשר מחשבים את ההשראות. זה ברור לנו שבגלל שסך הזרמים הוא אפס, אם נקח לולאת אמפר מחוץ לכבל השדה יהיה אפס ולכן אין שטף מגנטי מחוץ לכבל. מה שנשאר כעת הוא לחשב את השטף בתוך הכבל, אבל אנו צריכים לשים לב שהשטף הרצוי הוא השטף בין המוליכים ולא בתוכם. בגלל שאנחנו מחפשים את ההשראות העצמית החיצונית (מחוץ למוליך נושא הזרם). נשים לב שהיחיד שתורם לשדה המגנטי הוא הגליל הפנימי (ניתן לבדוק על ידי שימוש בלולאת אמפר) 4
B 1 (r) = µ 0I 2πr ˆϕ נשים לב שהשטף של השדה המגנטי עובר דרך מלבן שצלע אחת שלו היא h והצלע השניה היא, b a וכיוון הנורמל של המשטח הוא ϕˆ. (מסומן בציור על ידי פס אפור) Φ m = ˆb a B (r) h dr = µ 0Ih 2π ˆb a dr r = µ ( ) 0Ih b 2π ln a ולכן ההשראות ליחידת אורך היא L = µ ( ) 0 b 2π ln a אנרגיה כמו שראיתם בהרצאה ניתן לרשום אנרגיה של שדה אלקטרומגנטי כך: U electric = ε ˆ 0 E 2 dv 2 U magnetic = 1 ˆ B 2 dv 2µ 0 U coil = 1 2 LI2 ואנרגיה של סליל במעגלים חשמליים יש לנו אלמנט אחד שיכול לאגור שדה חשמלי וזהו הקבל ובעבורו ˆ ε 0 E 2 dv = 1 2 2 CV 2 5
ובצורה מקבילה הסליל הוא אלמנט שאוגר שדה מגנטי ולכן ˆ 1 B 2 dv = 1 2µ 0 2 LI2 נראה מספר שימושים במשוואה האחרונה. תרגיל 3 בעבור הכבל הקואקסיאלי, מצא את ההשראות החיצונית ליחידת אורך מתוך שיקולי אנרגיה. פתרון בכדי להתשמש בביטוי של האנרגיה של השדה המגנטי אנו חייבים קודם כל לדעת מהו השדה המגנטי באזור הרצוי. אנו מחפשים את האנרגיה האגורה בשדה בין הגליל הפנימי למעטפת החיצונית. נרשום את השדה בעבור האזור הרצוי B = µ 0 I 2πr ˆϕ U magnetic = 1 ˆ 2µ 0 B 2 dv = ˆb ˆ2π ˆh a 0 0 כך שהאנרגיה האגורה בשדה היא µ 0 I 2 8π 2 r rdrdϕdz = µ 0I 2 h 2 4π ln ( ) b a אבל מצד שני האנרגיה הזאת שווה ל : 1 2 LI2 µ 0 I 2 ( ) h b 4π ln = 1 a 2 LI2 L = µ ( ) 0 b 2π ln a וזאת בדיוק אותה התוצאה שקיבלנו בתרגיל הקודם. 6
תרגיל 4 מצא את ההשראות העצמית הפנימית של תייל ארוך ברדיוס a ליחידת אורך. פתרון אנו יודעים שהשדה המגנטי בתוך תייל הוא B (r) = µ 0 Ir 2πa 2 ˆϕ בכדי להשתמש בביטוי לאנרגיה נצטרך לקחת את הריבוע של השדה B 2 (r) = µ2 0I 2 r 2 4π 2 a 4 נציב במשוואה לאנרגיה של שדה מגנטי 1 2µ 0 ˆ B 2 dv = ˆa ˆ2π ˆh 0 0 0 µ 0 I 2 r 2 8π 2 a rdrdϕdz = µ 0hI 2 4 16π כעת נשווה את זה לביטוי שקיבלנו לאנרגיה כתוצאה מהשראות עצמית µ 0 hi 2 16π = 1 2 LI2 נקבל כי ההשראות הפנימית ליחידת אורך של כבל היא L = µ 0 8π תרגיל 5 נתון המעגל הבא: 7
א. סוגרים את המפסק. מצא את I 1, I 2, I 3 ואת המתח על הסליל V L מייד בסגירת המפסק. ב. במצב שבו המפסק סגור מחכים הרבה מאוד זמן, מצא את I 1, I 2, I 3 ואת. V L ג. ממצב סגור, פותחים את המפסק, מצא את I 1, I 2, I 3 ואת V L מייד אחרי הפתיחה. ד. עכשיו מחכים הרבה זמן, מצא את I 1, I 2, I 3 ואת.V L פתרון א. ראיתם בהרצאה שבעבור הרגע הראשון בו מפעילים מתח על הסליל הוא מתנהג כנתק והזרם שעובר דרכו הוא אפס. בצורה הכללית ביותר I (t) = ε R ( 1 e R L t) לכן גם = 0 3 I כי הוא נמצא על אותה לולאה עם הסליל. היות ושני הנגדים הנותרים זהים, אזי I. 1 = I 2 נרשום את חוק העניבה ε I 1 R 1 I 2 R 2 = 0 = 10 8I 1 = 0 ולכן I 1 = I 2 = 10 8 = 1.25 [A] 8
אנו רואים כי הסליל ו R 3 מחוברים בינהם בטור ומחוברים ל Rבמקביל, 2 כך שאנו יכולים לרשום V L + V 3 = V 2 מחוק אוהם אנו יודעים כי V 3 = I 3 R 3 אך בגלל ש = 0 3 I גם = 0 3.V V L = V 2 = I 2 R 2 = 1.25 [A] 4 [Ω] = 5 [V ] ב. אם מחכים הרבה זמן, זה אומר שאין יותר שינוים בזרם והמצב עכשיו יציב, לכן V L = L di 3 dt = 0 נזכור שהסליל מתנגד לשינוי בזרם, אך אם כבר אין שינוי בזרם הסליל הופך להיות קצר (כאילו יש תייל ישר במקומו) ולכן נוכל למחוק אותו מהמעגל ולחשב את סך ההתנגדויות. ( 1 R eq = R 1 + + 1 ) R2 R3 = R 1 + R 2R 3 R 2 + R 3 = 4 + 4 8 4 + 8 = 20 3 [Ω] I 1 = I eq = V R eq = 10 20/3 = 1.5 [A] כמו כן, אנו רואים ש R 2 ו R 3 מחוברים במקביל, מה שאומר שהמתחים עליהם שווים. R 2 R 3 V 2 = V 3 = I eq = 3 R 2 + R 3 2 [A] 8 [Ω] = 4 [V ] 3 I 2 = V 2 R 2 = 1 [A] 9
I 3 = V 3 R 3 = V 2 R 3 = 0.5 [A] ג. אם פותחים את המפסק, אז נגד R 1 נמצא בנתק ולכן = 0 1 I. הסליל מתנגד לשינוי בזרם, אבל הוא מתנגד לו בצורה רציפה, לכן בשניה שבה פותחים את המפסק הסליל לא מספיק להגיב והזרם שעובר דרכו עדיין [A] I L = 0.5 המעגל עכשיו כולל את הסליל ואת שני הנגדים הנותרים מחוברים בטור ולכן אותו הזרם זורם במערכת I 2 = I 3 = I L V L = I 3 R 3 + I 2 R 2 = I L (R 2 + R 3 ) = 0.5 [A] 12 [Ω] = 6 [V ] שימו לב שבמעגל, RL הזרם על הסליל משתנה בצורה רציפה,למרות שהמתח יכול להשתנות בצורה לא רציפה. לעומת מעגל,RC שבו המתח משתנה בצורה רציפה, אך הזרם יכול להיות לא רציף. ד. במצב הזה, אנחנו עדיין בנתק בעבור נגד R 1 ולכן עדיין = 0 1 I. הזרם במערכת יתנהג לפי משוואת פריקת הסליל I (t) = V i L R R e L t כאשר V i L מייצג את המתח ההתחלתי בתחילת תהליך הפריקה ) 6V). ולכן בזמן אינסופי הוא יהיה שווה לאפס. ואם הזרם מתאפס אז גם המתח יהיה שווה לאפס. 10